في عام 2000 ، حدد معهد كلاي للرياضيات في كامبريدج ، ماساتشوستس ، سبعة من أكثر المشكلات صعوبة التي واجهها علماء الرياضيات في ذلك الوقت وقدموا مكافأة رائعة بقيمة مليون دولار لأي شخص يمكنه حلها، وتمثل هذه المشكلات أعمق ألغاز في مجال الرياضيات.

مسائل غير محلولة في الرياضيات

مشكلة P مقابل NP هي مشكلة كبيرة لم يتم حلها، نوقشت القضايا الأساسية لأول مرة في الخمسينيات من القرن الماضي ، في رسائل من جون فوربس ناش جونيور إلى وكالة الأمن القومي ، ومن كورت غودل إلى جون فون نيومان، تم تقديم البيان الدقيق لمشكلة P مقابل NP في عام 1971 بواسطة ستيفن كوك في بحثه الأساسي “تعقيد نظرية إثبات إجراءات”، (وبشكل مستقل من قبل ليونيد ليفين في عام 1973 ، واعتبرها الكثيرون أهم مشكلة مفتوحة في علوم الكمبيوتر، إنها واحدة من مشاكل جائزة الألفية السبعة التي اختارها معهد كلاي للرياضيات ، وكل منها يحمل جائزة بقيمة 1000000 دولار أمريكي للحل الأول الصحيح.

تعتبر حدسية هودغ الأكثر صعوبة من حيث فهم المطلوب، وهي أيضا الأكثر تعقيدا بالنسبة لحلها، وتتطلب الحدسية لكي يتم فهمها مجالا متقدما من المعارف الرياضية، وصاحب حدسية هودج هو السير هودج البريطاني، الذي أعلن عنها سنة 1950، وقد تمت الإشارة إلى أن درجة غموضها مرتفعة، لأنها متعلقة بحساب التفاضل المطبق على الأشكال العامة وليس على الأعداد كانت حقيقة أو عقدية.

في الرياضيات ، تعتبر فرضية ريمان بمثابة تخمين بأن وظيفة ريمان زيتا لها أصفارها فقط في الأعداد الصحيحة السالبة والأعداد المعقدة مع جزء حقيقي، ويعتبر الكثيرون أنها أهم مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات البحتة ، أنها ذات أهمية كبيرة في نظرية الأعداد لأنها تنطوي على نتائج حول توزيع الأعداد الأولية، وتم اقتراحها من قبل برنهارد ريمان (1859)  .

تشكل فرضية ريمان وبعض تعميماتها ، بالإضافة إلى تخمين جولدباخ والتخمين المزدوج ، مشكلة هلبرت الثامنة في قائمة ديفيد هلبرت التي تضم 23 مشكلة لم يتم حلها ؛ كما أنها واحدة من مشكلات جائزة الألفية بمعهد كلاي للرياضيات، يستخدم الاسم أيضًا لبعض نظائرها ذات الصلة الوثيقة ، مثل فرضية ريمان للمنحنيات على الحقول المحدودة.

نظرية يانغ ميلز هي نظرية قياس تستند إلى مجموعة (SU (N، أو بشكل عام أي جبر كاذب مختزل، تسعى نظرية يانغ ميلز إلى وصف سلوك الجسيمات الأولية باستخدام مجموعات الكذب غير أبليان وهي في صميم توحيد القوة الكهرومغناطيسية والقوى الضعيفة (أي U (1) × SU (2 وكذلك الكم الديناميكا الحرارية ، نظرية القوة القوية (على أساس SU 3 ) وبالتالي فإنه يشكل الأساس لفهمنا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات.

في الفيزياء ، تصف معادلات نافييه ستوكس، التي سميت باسم كلود لويس نافير وجورج غابرييل ستوكس ، حركة المواد السائلة اللزجة، تنشأ معادلات التوازن هذه من تطبيق قانون إسحاق نيوتن الثاني على حركة السوائل ، مع افتراض أن الإجهاد في السائل هو مجموع المصطلح اللزج المنتشر (يتناسب مع التدرج اللوني للسرعة) ومن ثم مصطلح الضغط – ومن ثم وصف التدفق اللزج، والفرق الرئيسي بينها وبين معادلات أويلر الأبسط للتدفق الخفي هو أن معادلات نافير ستوكس عامل في حد فرود (لا يوجد حقل خارجي) وليست معادلات حفظ ، بل نظام تبديد ، بمعنى أنه لا يمكن وضعها في شكل متجانسة .

تحظى معادلات نافييه ستوكس أيضًا باهتمام كبير بالمعنى الرياضي البحت، على الرغم من مجموعة واسعة من الاستخدامات العملية ، لم يثبت بعد ما إذا كانت الحلول موجودة دائمًا في ثلاثة أبعاد ، وإذا كانت موجودة بالفعل ، سواء كانت سلسة – أي أنها قابلة للتمييز بشكل لا نهائي في جميع النقاط في المجال، وقد أطلق معهد كلاي للرياضيات على ذلك واحدة من أهم سبع مشاكل مفتوحة في الرياضيات وعرض جائزة بقيمة مليون دولار أمريكي لحلها .

في الرياضيات تصف حدسية بريتش داير مجموعة الحلول المنطقية للمعادلات التي تحدد منحنى إهليلجي، إنها مشكلة مفتوحة في مجال نظرية الأعداد ومعترف بها على نطاق واسع باعتبارها واحدة من أكثر المشاكل الرياضية صعوبة، تم اختيار التخمين كواحد من مشاكل جائزة الألفية السبعة المدرجة في معهد كلاي للرياضيات ، والذي قدم جائزة بقيمة 1000000 دولار للبرهان الصحيح الأول، وسمي على اسم عالم الرياضيات برايان بيرش وبيتر سوينرتون داير الذين طوروا التخمين خلال النصف الأول من الستينيات بمساعدة حساب الآلة، اعتبارًا من عام 2018 ، تم إثبات حالات التخمين الخاصة فقط.

هي الوحيدة التي تم حلها من قبل بيرلمان، حيث ظلت حدسية بوانكاريه، الذي صاغها عالم الرياضيات الفرنسي بوانكاريه في عام 1904 ، أحد أكثر الأسئلة المفتوحة تحديًا في القرن العشرين ، إلى أن أثبته غريغوري بيرلمان في عام 2002، لقد اعتبرها معهد كلاي للرياضيات واحدة من مشاكل جائزة الألفية السبعة التي إذا تم حلها على الإطلاق ستمنح جائزة قدرها مليون دولار، عزا غريغوري بيرلمان ميدالية فيلدز “لإسهاماته في الهندسة ورؤيته الثورية” التي أدت إلى برهانه المتميز، لكنه رفض كلا من الجائزة والميدالية .