يضم علم الرياضيات عدد كبير من العلوم الفرعية ولا سيما الجبر والهندسة والتفاضل والتكامل والديناميكا والاستاتيكا وغيرهم من العلوم الأخرى ، وقد يجد بعض الطلبة والطالبات نوعًا من الصعوبة في فهم بعض مجالات علم الرياضيات وخصوصًا دروس الرياضيات الخاصة بالدوال والمشتقات وقوانينها .

مُقدمة عن المشتقات

في بداية الأمر يجب أن نعرف ما هو الميل Slope ، حيث أنه يُعبر عن مقدار التغير في كميتين ، فمثلًا إذا كانت القيمة الأولى يُرمز لها بـ X والثانية يُرمز لها بـ Yفإن الميل يكون مقدار التغير في قيمة Y  على مقدار التغير في قيمة X والصورة التالية تُوضح ذلك :

وبالتالي يُمكننا أن نُحدد الميل من خلال حساب مقدار التغير في أي قيمتين ، ولكن من خلال الرسم الإحداثي بين المحور السيني والمحور الصادي عن نقطة واحدة لا يُمككنا تقدير الميل التي يكون مقدار الإزاحة بها قريبًا من الصفر ، وهنا يتم استخدام المشتقات.

تعريف المشتقات

المشتقات هي أحد الوسائل الرياضية التي يتم استخدامها من أجل إيجاد قيمة التغير اللحظي في كمية ما ، وبناءً على ذلك تم تعريف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى f )X)  ويتم رصدها عند أي نقطة ، وبها يتم استخدام صيغة حساب الميل التالية :

والشكل التالي يُوضح مقدار التغير في بعض الكميات المتمثلة في X  ، Y كما يلي :

وبذلك فإن مقدار التغير في قيمة X  يكون : X+DX

ومقدار التغير في قيمة Y  يكون : Y + DY

وقيمة الميل هنا = Y + DY / X+DX

قواعد المشتقات في الرياضيات

الاشتقاق أو التفاضل في الرياضيات يتم من خلال مجموعة من القوانين الرياضة والقواعد الهامة ، ومن القواعد الأساسية للمشتقات هي القاعدة المعروفة باسم Chain rule التي تنص على :

إذا كنت ص = د (س)^ن ؛ فإن صَ = ن [ د (س) ^ن-1 × دَ (س) ] .

ومن قواعد التفاضل والاشتقاق بالرياضيات ، ما يلي :

قاعدة ثابتة

إذا كانت د (س)  = 3 ، فهذا دليل على أن هذه الدالة تأتي بخط أفقي ليس له ميل ، وبالتالي تكون قيمة التغير = صفر .

إذا كانت د (س) = س ^ن ؛ فإن د (س) = ن س ^ن-1

إذا كانت د(س) = ق (س) + هـ (س) ، فإن د(س) = ق (س) + هـ (س) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند س .

وإذا كانت د(ص) = ق (ص) – هـ (ص) ، فإن د(ص) = ق (ص) – هـ (ص) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند ص .

تنص على أنه إذا كان هناك دالة تأتي من حاصل ضرب كميتين شرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند الدالة ؛ فإن القانون يكون على النحو التالي :

مثال: إذا كانت ع = د (س) × ق (س)

فإن مشتقة ع = [ مشتقة د (س) ×  ق (س) ] + [ د (س) × مشتقة ق (س)

ويمكن صياغة القانون نصيًا على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين = [ مشتقة الأولى ×  الثانية + الأولى × مشتقة الثانية ]

إذا كان كل من ع (س) ، ك (س) قابلتين للاشتقاق عند س وكانت ك (س) لا تساوي صفر ؛ فإن مشتقة ناتج القسمة تكون كما يلي :

د(س) = ع (س) / ك (س) ، ويكون اشتقاق الدالة على النحو التالي :

دَ(س) = [ مشتقة ع (س) × ك (س) ] – [ ع(س) × مشتقة ك (س) ] / [ك(س)]²

ويمكن صياغة قانون اشتقاق قسمة دالتين نصيًا كما يلي : (مشتقة الأولى × الثانية) – (الأولى × مشتقة الثانية) ويتم قسمة الناتج على مربع الثانية ، ويجب أن لا تكون قيمة الدالة الثانية تساوي صفر .

إذا كانت ص = ك ^{(س / ق)}؛ فإن مشتقة ص = (س/ق) ك ^{(س / ق) – 1}بشرط أن يكون ناتج س / ق عدد نسبي وليس صحيح .

أمثلة محلولة على المشتقات

مثال1 : إذا كانت د(س) = 4س³ + 3 س² + س + 2 ؛ أوجد مشتقة الدالة .

جـ1: دَ(س) = 12 س ^{(3 – 1)} + 6 س ^{(2 – 1)} + س ^{(1 – 1)} + 0

= 12 س² + 6س¹ + س⁰

= 12 س2 + 6س + 1

مثال 2 : إذا كانت ص = س ^(3/2)

فإن صَ = 3/2 (س) ^{(1.5 – 1)} = 1.5 س ^0.5